我們都學(xué)習(xí)過導(dǎo)數(shù)，對(duì)于普通數(shù)學(xué)愛好者而言，可以說導(dǎo)數(shù)就是區(qū)分初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的分界嶺。今天我們就來聊聊到底什么是導(dǎo)數(shù)，基本初等函數(shù)都是如何求導(dǎo)的？
函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0的導(dǎo)數(shù)就是指函數(shù)圖像在點(diǎn)x0處的切線的斜率k，記作k=y′(x0)=f′(x0)。
那我們?cè)趺磥砬蟪鲞@個(gè)切線的斜率呢？我們首先在函數(shù)圖像上取兩點(diǎn)
P0(x0,y0)和P(x0+△x,y0+△y)
這里y0=f(x0)，y0+△y=f(x0+△x)
△y=f(x0+△x)-y0=f(x0+△x)-f(x0)
連接直線P0P，這里P0P就是函數(shù)圖像的一條割線。當(dāng)△x→0的時(shí)，x0+△x→x0，點(diǎn)P也就逐漸趨近于點(diǎn)P0，割線P0P趨近于過點(diǎn)P0的切線，割線P0P的斜率也就趨近于這條切線的斜率。這個(gè)過程的極限值就是函數(shù)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)。
割線P0P的斜率等于
[(y0+△y)-y0]/[(x0+△y)-x0]
=△y/△x
過點(diǎn)P0的切線的斜率
k=y′(x0)=f′(x0)
=lim(△y/△x)，△x→0
=lim{[f(x0+△x)-f(x0)]/△x}
函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)所構(gòu)成的函數(shù)稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，記為y′=f′(x)。
y′=y′(x)=f′(x)=lim(△y/△x)
=lim{[f(x+△x)-f(x)]/△x}，△x→0
我們把自變量x的增量△x用dx表示，稱為自變量的微分；把因變量y的增量△y用dy表示，稱為因變量的微分。那么導(dǎo)函數(shù)又可以表示為：
y′=y′(x)=f′(x)=dy/dx，dy=f′(x)dx
我們首先來求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
對(duì)于n∈N*，△x→0
(x^n)′=lim{[(x+△x)^n-x^n]/△x}
根據(jù)二項(xiàng)式定理：
(a+b)^n=Σ[C(n,r)×a^(n-r)×b^r]r=0，1，2，…，n
(x+△x)^n-x^n
=[x^n+nx^(n-1)△x+C(n,2)x^(n-2)(△x)^2+…+(△x)^n]-x^n
=nx^(n-1)△x+C(n,2)x^(n-2)(△x)^2+…+(△x)^n
(x^n)′=lim{[(x+△x)^n-x^n]/△x}
=lim{[nx^(n-1)△x+C(n,2)x^(n-2)(△x)^2+…+(△x)^n]/△x}
=lim[nx^(n-1)+C(n,2)x^(n-2)(△x)+…+(△x)^(n-1)]，△x→0
=nx^(n-1)+0+…+0=nx^(n-1)
(x^n)′=nx^(n-1)，n∈N*
也可以寫成：y=x^n
y′=dy/dx=d(x^n)/dx=nx^(n-1)
dy=d(x^n)=[nx^(n-1)]dx
利用后面將要證明的
(e^x)′=e^x，[ln(x)]′=1/x
我們還可以將以上結(jié)論中的正整數(shù)n拓展到任意實(shí)數(shù)α。
根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式
x=e^(lnx)
x^α=[e^(lnx)]^α=e^(αlnx)
(x^α)′=[e^(αlnx)]′=e^(αlnx)×(αlnx)′
=x^α×α×(lnx)′
=αx^α×(1/x)=αx^(α-1)
(x^α)′=αx^(α-1)，α∈R
根據(jù)拓展到實(shí)數(shù)域的結(jié)論，我們可以很快得出幾個(gè)常見導(dǎo)數(shù)。
(x)′=(x^1)′=1×x^(1-1)=x^0=1
(x^2)′=2×x^(2-1)=2×x^1=2x
(1/x)′=[x^(-1)]′=(-1)×x^(-1-1)
=-x^(-2)=-1/(x^2)
(√x)′=[x^(1/2)]′=(1/2)×x^(1/2-1)
=[x^(-1/2)]/2=1/(2√x)
(C)′=(Cx^0)′=C(x^0)′
=C[0×x^(0-1)]=C×0=0
C為任意常數(shù)
(x)′=1，(x^2)′=2x，(1/x)′=-1/(x^2)
(√x)′=1/(2√x)，(C)′=0
接下來我們來討論指對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，我在前面的文章中已經(jīng)詳細(xì)討論了利用自然常數(shù)e的定義，可以證明(e^x)′=e^x。
由于證明過程比較復(fù)雜，有興趣的朋友可以前往我的主頁翻看一下。
文章鏈接：
https://www.toutiao.com/article/7197230973258678822/
(e^x)′=e^x
利用這個(gè)結(jié)論，我們就可以求出以e為底的自然對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx的導(dǎo)數(shù)
y(x)=ln(x)，x=e^y(x)
利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則
(x)′=[e^y(x)]′=[e^y(x)]×y′(x)
1=x×y′(x)
y′(x)=[ln(x)]′=1/x
進(jìn)一步對(duì)于任何底數(shù)a＞0且a≠1的指數(shù)函數(shù)y=a^x求導(dǎo)
y(x)=a^x
ln[y(x)]=ln(a^x)=xlna
{ln[y(x)]}′=(xlna)′
[1/y(x)]×y′(x)=lna×(x)′=lna×1=lna
y′(x)=y(x)lna=(a^x)lna
(a^x)′=(a^x)lna
同樣對(duì)于一般對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)
y=log(a,x)，a＞0且a≠1
根據(jù)換底公式
[log(a,x)]′=(lnx/lna)′=(lnx)′/lna
=(1/x)/lna=1/(xlna)
[log(a,x)]′=1/(xlna)
指對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就討論到這里，接下來我們來討論三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
首先來求正弦函數(shù)y=sinx的導(dǎo)數(shù)
根據(jù)兩角和差公式
(sinx)′，△x→0
=lim[sin(x+△x)-sinx]/△x
=lim[sinxcos(△x)+cosxsin(△x)-sinx]/△x，△x→0
=lim[sinx+cosxsin(△x)-sinx]/△x
=lim[cosxsin(△x)/△x]
=cosxlim[sin(△x)/△x]，△x→0
根據(jù)重要極限
lim(sinx/x)=1，x→0
lim[sin(△x)/△x]=1，△x→0
(sinx)′=cosxlim[sin(△x)/△x]
=cosx×1=cosx，△x→0
(sinx)′=cosx
類似地，我們還可以求得
(cosx)′=-sinx
(tanx)′=(secx)^2
(cotx)′=-(cscx)^2
最后我們來對(duì)反三角函數(shù)求導(dǎo)，我們以反正弦函數(shù)為例：
y=arcsinx，x=siny
dx/dy=d(siny)/dy=(siny)′=cosy
注意到arcsinx∈[-1,1]?(-π/2,π/2)
cosy=cos(arcsinx)＞0
dx/dy=cosy=√(cosy)^2
=√[1-(siny)^2]=√(1-x^2)
y′(x)=dy/dx=1/(dx/dy)
=1/√(1-x^2)
(arcsinx)′=1/√(1-x^2)
類似地，我們還可以求得
(arccosx)′=-1/√(1-x^2)
(arctanx)′=1/(1+x^2)
(arccotx)′=-1/(1+x^2)
好了，關(guān)于基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就介紹到這里。在整個(gè)推導(dǎo)過程中，運(yùn)用到了多種不同的求導(dǎo)方法，值得大家認(rèn)真體會(huì)。
總結(jié)一下，本文運(yùn)用到的方法和知識(shí)點(diǎn)有：
導(dǎo)數(shù)定義、微分定義、二項(xiàng)式定理、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、對(duì)數(shù)恒等式、反函數(shù)定義、自然常數(shù)e的定義、換底公式、兩角和差公式、正弦重要極限、反三角函數(shù)定義等。
